川沙中学 2018 学年高中二年级第一学期数学期末考试题

1、填空题（每题 3 分）

1. 设抛物线的焦点坐标为（1，0），则此抛物线的规范方程为____________________.

2. 已知复数 z = 1 + 3i （ i 为虚数单位），则它的虚部为____________________.

3. 若复数 z 满足2z - 3 = 1 + 5i （ i 是虚数单位），则 z = ____________________.

4. 设 m Î R ，若复数 z = 在复平面内对应的点坐落于实轴上，则 m =__________.

5. 将椭圆的参数方程ìïx = 2 cosplayq  （q为参数）转化为普通方程____________________.

ïî y =    3 sinq

2

x2 - 2

6. 已知抛物线 y

____________________.

= 8x 的焦点与双曲线

a2

y = 1 的右焦点重合，则双曲线的渐近线方程为

7. 已知圆 x2 + y2  = 5 和点 A，则过点 A 的圆的切线方程为.____________________

8. 若复数 z = x + yi 复平面上对应的点在直线3x + 4 y - 15 = 0 上，则 z 的最小值是

____________________.

9. 已知抛物线型拱桥的顶点蹑水面 2 米时，量得水面宽为 8 米，当水面降低 1 米后，水面的宽为____________________米.

x2

10. 已知椭圆 a2

y = 1上的一点 P 也在抛物线 y

3

2 = 9 x 上，设抛物线焦点为 F ，若

4

PF = 25 ，则 a = .

16

11. 已知a是实系数一元二次方程 x2 - x + m2 + 1 = 0 的一个虚数根，且 a £ 2 ，则实

数 m 的取值范围是____________________.

x2 2

12. 点 F1、F2 分别是椭圆C : 2 + y

= 1的左、右焦点，点 N 为椭圆C 的上顶点，若动点

M 满足：

= 2MF1 × MF2 ，则 MF1 + 2MF2 的最大值为____________________.

2、选择题（每题 3 分）

13. 在复数范围内，下列命题中，假命题的是（ ）

A.若 z 为实数，则 z = z B.若 z = z ，则 z 为实数

C.若 z × z 为实数，则 z 为实数 D.若 z 为实数，则 z × z 为实数

14. 当 ab < 0 时，方程 ax2 - ay2  = b 所表示的曲线是（ ）

A.焦点在 x 轴的椭圆上 B.焦点在 x 轴的双曲线

C.焦点 y 在轴的椭圆 D.焦点在 y 轴的双曲线

15. 若实系数一元二次方程 z2 + z + m = 0 有两虚数根a、b，且 a- b = 3 ，那样实数 m 的值

是（ ）

A. 5

2

B.1

C. -1

D. - 5

2

16.已知点 A， B ， P 为曲线 y =

上任意一点，则 AP × AB 的取值范围为

（ ）

A. [-1, 7]

B. [1, 7]

C. é-1, 3 + 2 3ù

D. é1, 3 + 2 3ù

3、解答卷（第 17 题共 8 分，第 18 题共 8 分，第 19 题共 10 分，第 20 题共 12 分，第 21

题共 14 分）

17. 设 z 为关于 x 的方程 x2 + mx + n = 0 ， m, n Î R 的虚根， i 为虚数单位.

（1） 当 z = 1 + i 时，求 m、n 的值；

（2） 在（1）的条件下，若w= n + ai, ， w £ 3 ，求 a 的取值范围。

18. 已知动点 M 到点 F 的距离为 d1 ，动点 M 到直线 x = 3 的距离为 d2 ，且

d1   = 6 .

d2 3

（1） 求动点 M 的轨迹C 的方程；

（2） 若直线l : y = x - 2 交曲线C 于 P、Q 两点，求DOPQ 的面积。

解：

19. 已知双曲线C : x2 - y2 = 1 .

（1） 若经过点 P 的直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点 M、N ，求直线l 的斜率

的取值范围；

（2） 在（1）的条件下，求线段 MN 的中垂线l¢ 在 y 轴上的截距t 的取值范围.

解：

20. 如图，已知满足条件 z - 3i = - i （其中i 为虚数单位）的复数 z 在复平面 xOy 上的对应点 Z 的轨迹为圆C （圆心为C ），定直线 m 的方程为 x + 3y + 6 = 0 ，过 A斜

率为 k 的直线l 与直线 m 相交于 N 点，与圆C 相交于 P、Q 两点， M 是弦 PQ 中点.

（1） 若直线l 经过圆心C ，求证： l 与 m 垂直；

（2） 当 PQ = 2

时，求直线l 的方程；

（3） 设t = AM × AN ，试问t 是不是为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说

明理由. 解：

21. 给出定理：在圆惟曲线中， AB 是抛物线G : y2 = 2 px 的条弦，

C 是 AB 的中点，

过点C 且平行于轴的直线与抛物线的交点为 D .若 A、B 两点纵坐标之差的绝对值

yA - yB

= a ， x 则

DADB 的面积 D SDADB =

a3

16 p

，试运用上述定理求解以下各题：

（1） 若 p = 2 ， AB 所在直线的方程为 y = 2x - 4 ， C 是 AB 的中点，过C 且平行于 x 轴的

直线与抛物线G 的交点为 D ，求 SDADB ；

（2） 已知 AB 是抛物线G : y2 = 2 px 的一条弦， C 是 AB 的中点，过点C 且平行于

x 轴的直线与抛物线的交点为 D ， E、F 分别为 AD 和 BD 的中点，过 E、F 且平行于 x 轴的直线与抛物线G : y2 = 2 px 分别交于点 M、N ，若 A、B 两点纵坐标之差的绝对值

yA - yB

= a ，求 SDAMD 和 SDBND ：

请你在上述问题的启发下，设计一种办法求抛物线： y2 = 2 px 与弦 AB 围成

成的“弓形”的面积，并求出相应面积.